Phân phối chuẩn: normalcdf, invNorm và normalpdf trong Scientific calculator plus 991 cho Android
Bấm SHIFT 3 (DISTR) rồi chọn normalcdf để tính xác suất một giá trị có phân phối chuẩn nằm giữa hai cận: normalcdf(lowerbound, upperbound, mean, sigma). Bỏ hai đối số cuối, trung bình và độ lệch chuẩn, thì máy dùng phân phối chuẩn tắc. invNorm làm ngược lại, từ diện tích tìm ra giá trị của x, còn normalpdf cho độ cao của đường cong hình chuông. Trước hết hãy bấm S⇌D để chuyển sang tính toán số, nếu không kết quả sẽ là một biểu thức chính xác chứ không phải số thập phân.
- Menu
- SHIFT 3 (DISTR)
- Xác suất
- normalcdf(lowerbound, upperbound[, mean, sigma])
- Hàm ngược
- invNorm(area[, mean, sigma])
- Mặc định
- trung bình 0, sigma 1: phân phối chuẩn tắc
Phân phối chuẩn có ba hàm trên máy, mỗi hàm trả lời một câu hỏi về đường cong hình chuông: xác suất để một giá trị nằm giữa hai cận là bao nhiêu (normalcdf), giá trị nào có một phần diện tích cho trước nằm bên trái nó (invNorm), và đường cong cao bao nhiêu tại một điểm (normalpdf). Các hàm này không cần nhập số liệu trong chế độ Thống kê: trung bình và độ lệch chuẩn được đưa thẳng vào hàm.
Menu phân phối
Bấm SHIFT 3 DISTR. Menu có mười sáu hàm, gồm các phân phối chuẩn, Student (t), khi bình phương, F, nhị thức, Poisson và hình học. Gõ một phần tên vào ô tìm kiếm ở đầu menu để thu hẹp danh sách, rồi chọn hàm. Máy chèn nguyên tên hàm vào phép tính; bạn nhập các đối số, rồi bấm = để có kết quả như mọi phép tính khác.
Cũng có thể gõ tên hàm từng chữ cái một trên màn hình tính toán, không cần mở menu. Dùng menu nhanh hơn, vì chỉ một lần chạm là chèn cả tên.
Mỗi mục ghi các đối số mà hàm nhận, theo đúng thứ tự. Đối số trong [ ] là tùy chọn: bỏ đi thì máy dùng giá trị mặc định. Với các hàm của phân phối chuẩn, mean và sigma là trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối; bỏ đi thì chúng là 0 và 1, tức phân phối chuẩn tắc.
normalcdf: xác suất giữa hai cận
normalcdf(lowerbound, upperbound[, mean, sigma]) cho xác suất để một giá trị có phân phối chuẩn nằm giữa hai cận.
Cách tính xác suất của phân phối chuẩn
-
Nếu dòng trạng thái chưa có DECI, bấm S⇌D để chuyển sang tính toán số.
-
Bấm SHIFT 3 DISTR rồi chọn normalcdf.
-
Nhập cận dưới, cận trên, trung bình và độ lệch chuẩn, bấm SHIFT ) , giữa hai số liền nhau. Với phân phối chuẩn tắc thì bỏ hai số cuối.
-
Bấm =.
Xác suất để một giá trị của phân phối chuẩn tắc nằm giữa 2 và 3:
vào normalcdf(2, 3)
ra 0.02140023392
Cùng khoảng đó, với phân phối có trung bình 0.2 và độ lệch chuẩn 0.6:
vào normalcdf(2, 3, 0.2, 0.6)
ra 0.0013483674
Xác suất nhỏ hơn một giá trị: mẹo một phía
Muốn tính xác suất nhỏ hơn một giá trị, bạn vẫn phải nhập cận dưới. Thay cho −∞, hãy lấy một số nhỏ hơn trung bình rất nhiều, chẳng hạn −10⁹⁹, như sách hướng dẫn làm. Xác suất để một giá trị của phân phối có trung bình 35, độ lệch chuẩn 2 nhỏ hơn 36:
vào normalcdf(-10⁹⁹, 36, 35, 2)
ra 0.69146246127
invNorm: giá trị ứng với một diện tích
invNorm(area[, mean, sigma]) làm ngược lại normalcdf: cho một diện tích từ 0 đến 1, hàm trả về giá trị của x có đúng phần diện tích đó nằm bên trái. Nhập lại kết quả ở trên, đã làm tròn, thì được lại số 36 ban đầu:
vào invNorm(0.6914625, 35, 2)
ra 36.00000021999
Với phân phối chuẩn tắc, giá trị có 97.5% diện tích nằm bên trái chừa lại 2.5% ở mỗi đuôi, nên đó chính là giá trị tới hạn của khoảng tin cậy 95%:
vào invNorm(0.975)
ra 1.9599639845
normalpdf: độ cao của đường cong
normalpdf(x[, mean, sigma]) cho mật độ xác suất tại x: độ cao của đường cong hình chuông tại điểm đó, không phải một xác suất. Muốn tính xác suất trên một khoảng, hãy dùng normalcdf.
vào normalpdf(3, 0.9, 2.1)
ra 0.11522415453
Khi bỏ trung bình và độ lệch chuẩn, normalpdf(0) là độ cao tại đỉnh của đường cong chuẩn tắc:
vào normalpdf(0)
ra 0.3989422804
normalcdf chính là diện tích dưới đường cong này giữa hai cận, cùng loại diện tích mà tích phân xác định tính dưới đồ thị của một hàm số do bạn tự nhập.
normalcdf hay P, Q và R
Chế độ Thống kê có riêng các hàm tính diện tích dưới đường cong chuẩn: P(t), Q(t) và R(t) ở thẻ Phân phối của menu STAT, SHIFT 1 STAT. Chúng chỉ dùng cho phân phối chuẩn tắc, và là bước tiếp theo tự nhiên sau khi →t đổi một giá trị trong mẫu số liệu thành giá trị chuẩn hóa; trang Điểm z, P, Q và R trình bày các hàm này. Còn normalcdf không cần số liệu và nhận trung bình, độ lệch chuẩn bất kỳ.
Tra nhanh
| Dùng gì | Cho ra |
|---|---|
| SHIFT 3 DISTR | Menu phân phối |
| normalcdf(lowerbound, upperbound[, mean, sigma]) | Xác suất để giá trị nằm giữa hai cận |
| invNorm(area[, mean, sigma]) | Giá trị có phần diện tích đó nằm bên trái |
| normalpdf(x[, mean, sigma]) | Độ cao của đường cong tại x |
| −10⁹⁹ làm cận dưới | Xác suất nhỏ hơn một giá trị |
| S⇌D | Tính toán số, để có kết quả thập phân |
Câu hỏi
Tính xác suất của phân phối chuẩn bằng máy tính thế nào?
Trước hết bấm S⇌D để chuyển sang tính toán số. Sau đó bấm SHIFT 3 (DISTR), chọn normalcdf, rồi nhập cận dưới, cận trên, trung bình và độ lệch chuẩn, ngăn cách bằng dấu phẩy: normalcdf(2,3,0.2,0.6) bằng 0.0013483674. Bỏ hai số cuối thì máy dùng phân phối chuẩn tắc: normalcdf(2,3) bằng 0.02140023392.
Tính xác suất nhỏ hơn một giá trị thế nào?
Thay cho −∞, hãy lấy cận dưới là một số nhỏ hơn trung bình rất nhiều, chẳng hạn −10⁹⁹, như sách hướng dẫn làm. Xác suất để một giá trị của phân phối chuẩn có trung bình 35, độ lệch chuẩn 2 nhỏ hơn 36 là normalcdf(−10⁹⁹, 36, 35, 2), bằng 0.69146246127.
Tìm giá trị ứng với một xác suất cho trước thế nào?
Dùng invNorm(area, mean, sigma), trong đó area là phần diện tích nằm bên trái giá trị cần tìm. invNorm(0.975) bằng 1.9599639845, giá trị tới hạn của khoảng tin cậy 95%. Nhập lại kết quả của normalcdf, làm tròn còn 0.6914625, thì invNorm(0.6914625, 35, 2) trả về 36.00000021999, tức số 36 ban đầu.
Vì sao kết quả lại có chữ Erfc?
Vì máy đang ở chế độ tính toán ký hiệu, giữ kết quả ở dạng chính xác, và dạng chính xác của một xác suất phân phối chuẩn được viết bằng Erfc, hàm sai số bù (InverseErfc với invNorm). Bấm S⇌D để chuyển sang tính toán số, và cùng phép tính đó sẽ cho một số thập phân.
Trang liên quan
- Chuẩn hóa số liệu (→t) và các hàm P, Q, R của phân phối chuẩn tắc giá trị chuẩn hóa của một số liệu, và các diện tích P, Q, R
- Phân phối Student, khi bình phương và F tcdf, invT và tpdf; χ²cdf và χ²pdf; Fcdf và Fpdf
- Xác suất của phân phối nhị thức, Poisson và hình học binompdf và binomcdf, Poisson, hình học, danh sách và cả bảng phân phối
- Thống kê và xác suất công cụ nào cho việc nào, và mỗi trang của chương nói về việc gì
Viết từ sách hướng dẫn trong app và từ chính app, phiên bản 7.6.0; mọi con số đều có trong sách hướng dẫn hoặc có ảnh chụp app làm bằng chứng. Rà lại lần cuối ngày 29 tháng 9, 2026.
Báo lỗi và góp ý tính năng xin gửi về kimcuc@samatica.com — có người đọc từng thư.