Tích phân xác định và nguyên hàm trong Scientific calculator plus 991 cho Android
Bấm ∫dx, chọn Tích phân, điền biểu thức cùng hai cận rồi bấm =. Tích phân cho kết quả chính xác mỗi khi tìm được: diện tích dưới đồ thị x² từ 1 đến 2 hiện ra là phân số 7/3, không phải một số thập phân. Còn nếu chọn Nguyên hàm, máy trả về một hàm số: x³/3 với x², không kèm + C.
- Phím
- ∫dx (menu tích phân); SHIFT ∫dx cho d/dx
- Hai kiểu kết quả
- Tích phân cho một số; Nguyên hàm cho một hàm số
- Đơn vị góc
- Tích phân tính theo cài đặt; Nguyên hàm luôn dùng radian
- Phương pháp số
- LegendreGauss, Romberg, Gauss-Kronrod
Trên máy, phép tích phân có hai kiểu. Tích phân xác định cho một số, là diện tích dưới đồ thị f(x) giữa hai cận; nguyên hàm cho một hàm số, là hàm có đạo hàm bằng f(x). Cả hai cùng bắt đầu từ một phím. Trang này hướng dẫn tính trọn một tích phân xác định, từ lúc mở menu đến khi có kết quả, rồi lần lượt xét những kết quả không phải một con số thông thường, đồ thị, nguyên hàm và ba phương pháp số nhanh.
Một phím, hai kiểu kết quả
Bấm ∫dx để mở menu tích phân. Hai mục đầu tiên chính là hai phép tích phân, và mỗi mục trả lời một câu hỏi khác nhau:
- Tích phân cho một số: tích phân của f(x) theo biến x từ a đến b, tức là diện tích dưới đồ thị f(x) giữa hai cận.
- Nguyên hàm trả về một hàm số: một hàm có đạo hàm bằng f(x). Mục này không có cận nào phải điền.
Ba mục tiếp theo, LegendreGauss Integral, Romberg Integral và Gauss-Kronrod Integral, cũng tính loại tích phân ấy nhưng bằng một phương pháp số, và được trình bày trong một mục riêng ở bên dưới. Nếu bấm SHIFT trước, SHIFT ∫dx d/dx, cùng phím này sẽ mở menu đạo hàm thay cho menu tích phân.
Đặt đơn vị góc trước
Tích phân tính theo đơn vị góc đang đặt, ba phương pháp nhanh cũng vậy, và điều đó trở nên quan trọng ngay khi bên trong có một hàm lượng giác. Tích phân của sin(x) từ 0 đến π bằng 2 khi đơn vị góc là radian: đó là diện tích dưới một vòm của đồ thị sin. Khi đơn vị góc là độ, cùng phép nhập ấy lại thành tính diện tích từ 0° đến khoảng 3.14°, một dải rất hẹp sát gốc tọa độ, và kết quả là khoảng 0.0861.
Vì vậy, hãy kiểm tra đơn vị góc trước khi tính tích phân. Bấm phím DEG, RAD hoặc GRA ở phía trên màn hình để chuyển giữa các đơn vị; cài đặt này cũng nằm trong Cài đặt → Tính toán.
Tính tích phân xác định
Tích phân hiện ra dưới dạng một mẫu có bốn ô trống: biểu thức, biến, cận dưới a và cận trên b.
Cách tính tích phân xác định
-
Bấm ∫dx. Menu tích phân mở ra.
-
Chọn Tích phân, mục đầu tiên. Mẫu hiện ra với bốn ô trống.
-
Nhập biểu thức vào ô thứ nhất.
-
Di chuyển giữa các ô bằng left right , hoặc chạm vào ô cần điền. Ô biến đã có sẵn x: chỉ sửa khi bạn lấy tích phân theo một biến khác.
-
Điền cận dưới a và cận trên b, rồi bấm =. Kết quả hiện ở bên phải, phía dưới tích phân.
vào ∫ 1…2 x² dx
ra 7/3
Kết quả được giữ ở dạng phân số chính xác 7/3 chứ không phải 2.333…
vào ∫ 0…π Sin(x) dx
ra 2
Với đơn vị góc là radian. Số π nhập bằng SHIFT Exp π.
Cận không phải số nguyên
Hai cận a và b không nhất thiết phải là số nguyên.
vào ∫ 1…e 1/x dx
ra 1
Đúng bằng 1.
Khi kết quả là một hàm đặc biệt
Có những tích phân không biểu diễn được bằng các hàm sơ cấp. Với những tích phân ấy, máy cho kết quả biểu diễn qua hàm đặc biệt cần dùng, thay vì một số thập phân.
vào ∫ 0…1 e^(-x²) dx
ra (√πErf(1))/2
Chạm vào kết quả để xem nó ở dạng thập phân.
Khi không có kết quả
Khi không tính được một tích phân, máy báo lỗi chứ không đoán bừa. Nguyên nhân thường gặp là tích phân không hội tụ: hàm dưới dấu tích phân tiến tới vô cực ở đâu đó giữa hai cận.
Tích phân của 1/x từ 0 đến π là một trường hợp như vậy. Ở gần 0, diện tích dưới đồ thị 1/x không hữu hạn, nên không có gì để trả về. Trước khi tính, hãy kiểm tra xem hàm dưới dấu tích phân có nhận giá trị hữu hạn trên toàn đoạn, kể cả tại hai cận, hay không.
Xem diện tích trên đồ thị
Thay vì tính, bạn có thể vẽ tích phân. Nhập tích phân đúng như khi tính, rồi bấm GRAPH: máy vẽ đường cong, tô màu miền nằm giữa hai cận và đánh dấu cả hai cận trên trục hoành. Miền được tô màu chính là kết quả.
Nhìn miền ấy cũng hiểu được vì sao kết quả đôi khi mang một dấu tưởng như sai. Phần diện tích nằm dưới trục hoành được tính là âm, nên tích phân qua một phần nhô lên và một phần trũng xuống trả về hiệu của hai phần, chứ không phải tổng diện tích phần tô màu.
Nguyên hàm, hay tích phân bất định
Nguyên hàm, mục thứ hai trong menu tích phân, trả về một hàm số: một hàm có đạo hàm bằng biểu thức bạn đã nhập. Mẫu của mục này có hai ô, biểu thức và biến, không có cận. Nhập biểu thức rồi bấm =. Trên bàn phím thứ hai (bàn phím 2nd), chức năng này có hẳn một phím riêng: bấm một lần là xong, không phải mở qua menu.
vào ∫ x² dx
ra x³/3
vào ∫ Cos(x) dx
ra Sin(x)
vào ∫ 1/x dx
ra Ln(x)
Các phương pháp số nhanh
Ba mục cuối trong menu tính tích phân bằng một phương pháp số có tên riêng, thay vì tìm kết quả chính xác. Chúng dùng cùng bốn ô như Tích phân, và cũng tính theo đơn vị góc như mục đó:
- LegendreGauss Integral
- Romberg Integral
- Gauss-Kronrod Integral
Nên dùng chúng khi hàm dưới dấu tích phân phức tạp đến mức Tích phân phải mất một lúc đáng kể mới cho kết quả.
vào ∫ 0…π Sin(x) dx
ra 2
Với tích phân này, Tích phân cũng cho đúng 2.
Các phương pháp này luôn trả về một số. Tích phân cho kết quả chính xác mỗi khi tìm được, nên hai kết quả có thể trông khác nhau dù cả hai đều đúng.
Tra cứu nhanh
| Phím hoặc mục | Tác dụng |
|---|---|
| ∫dx | Mở menu tích phân |
| Tích phân | Một số: bốn ô, gồm biểu thức, biến, cận dưới, cận trên |
| Nguyên hàm | Một hàm số: hai ô, biểu thức và biến; một nguyên hàm, không kèm + C |
| LegendreGauss Integral, Romberg Integral, Gauss-Kronrod Integral | Các phương pháp số nhanh, cùng bốn ô như Tích phân |
| left right | Di chuyển giữa các ô của mẫu |
| = | Tính kết quả |
| GRAPH | Vẽ đường cong, tô màu diện tích giữa hai cận |
| DEG RAD GRA | Chuyển đơn vị góc; Tích phân tính theo đơn vị này |
| SHIFT ∫dx d/dx | Mở menu đạo hàm thay cho menu tích phân |
Câu hỏi
Máy cho tích phân ở dạng chính xác hay số thập phân?
Ở dạng chính xác, mỗi khi Tích phân tìm được. Diện tích dưới đồ thị x² từ 1 đến 2 là phân số 7/3 chứ không phải 2.333…, và tích phân của 1/x từ 1 đến e bằng đúng 1. Khi kết quả không biểu diễn được bằng các hàm sơ cấp, máy nêu tên hàm đặc biệt cần dùng: tích phân của e^(−x²) từ 0 đến 1 cho √π·Erf(1)/2, và chạm vào kết quả sẽ thấy nó ở dạng thập phân. Ngoại lệ là ba phương pháp số nhanh: chúng luôn trả về một số.
Vì sao tích phân của sin(x) từ 0 đến π ra khoảng 0.0861 chứ không phải 2?
Vì đơn vị góc đang đặt là độ. Tích phân tính theo đơn vị góc, nên khi đặt độ, cùng phép nhập ấy lại thành tính diện tích từ 0° đến khoảng 3.14°, một dải rất hẹp sát gốc tọa độ, và kết quả là khoảng 0.0861. Chuyển sang radian bằng phím DEG, RAD hoặc GRA ở phía trên màn hình thì kết quả là 2, diện tích dưới một vòm của đồ thị sin.
Vì sao nguyên hàm không có + C?
Một hàm số có vô số nguyên hàm, và cộng một hằng số bất kỳ vào một nguyên hàm sẽ được một nguyên hàm khác. Máy chỉ trả về một trong số đó: với x² là x³/3, với cos(x) là sin(x), với 1/x là ln(x). Khi kết quả cần đại diện cho tất cả các nguyên hàm, hãy tự thêm + C.
Vì sao tính tích phân lại báo lỗi?
Vì không có kết quả nào để trả về. Máy báo lỗi chứ không đoán bừa, và nguyên nhân thường gặp là tích phân không hội tụ: hàm dưới dấu tích phân tiến tới vô cực ở đâu đó giữa hai cận. Tích phân của 1/x từ 0 đến π là một ví dụ, vì ở gần 0, diện tích dưới đồ thị 1/x không hữu hạn. Hãy kiểm tra xem hàm dưới dấu tích phân có nhận giá trị hữu hạn trên toàn đoạn, kể cả tại hai cận, hay không.
Vì sao tích phân xác định có thể ra số âm?
Vì phần diện tích nằm dưới trục hoành được tính là âm. Tích phân qua một phần nhô lên và một phần trũng xuống trả về hiệu của hai phần đó, chứ không phải tổng diện tích mà đường cong bao quanh. Nhập tích phân đúng như khi tính rồi bấm GRAPH, máy sẽ vẽ đồ thị và tô màu miền nằm giữa hai cận, để bạn thấy phần nào nằm dưới trục.
Trang liên quan
- Đạo hàm hệ số góc tại một điểm, hoặc đạo hàm dưới dạng biểu thức, kèm đồ thị
- Tổng sigma (∑) và tích (∏), kể cả chuỗi vô hạn ∑ và ∏ trên một dãy số nguyên, cùng chuỗi vô hạn
- Giải tích tích phân, đạo hàm, giới hạn, tổng, tích và đơn vị góc
Viết từ sách hướng dẫn trong app và từ chính app, phiên bản 7.6.0; mọi con số đều có trong sách hướng dẫn hoặc có ảnh chụp app làm bằng chứng. Rà lại lần cuối ngày 25 tháng 9, 2026.
Báo lỗi và góp ý tính năng xin gửi về kimcuc@samatica.com — có người đọc từng thư.