Giới hạn: hai bên, một bên và tại vô cực trong Scientific calculator plus 991 cho Android

Giới hạn cho biết một biểu thức dần tới giá trị nào khi x tiến gần một điểm, kể cả một điểm mà tại đó chính biểu thức không xác định, và chính ở những điểm như thế giới hạn mới thật sự đắc dụng. Trang này hướng dẫn tính một giới hạn từ lúc mở menu đến khi có kết quả, rồi lần lượt xét ba loại giới hạn trong menu và ý nghĩa của từng kiểu kết quả.

Tính giới hạn

Menu giới hạn nằm ở phím 9: SHIFT 9 Limit. Trong đó có ba loại giới hạn và ký hiệu vô cực. Mục đầu tiên, Lim(expr, x→a), tính giới hạn từ cả hai bên, và mẫu của nó hiện ra với ba ô: biểu thức, biến và điểm.

Giới hạn tại vô cực

Để xét điều gì xảy ra khi x tăng lên vô hạn, hãy đặt ∞ vào ô điểm. ∞ là mục cuối cùng trong menu giới hạn, còn ALPHA 9 ∞ nhập thẳng ký hiệu này mà không cần mở menu.

Giới hạn một bên

Có những biểu thức cho kết quả khác nhau tùy theo x dần tới điểm đó từ bên nào. Với những biểu thức ấy, giới hạn hai bên không có kết quả, và hai mục còn lại của menu xét từng bên một: Lim(expr, x→a⁺) cho giới hạn bên phải, khi x đi qua các giá trị lớn hơn điểm đó, và Lim(expr, x→a⁻) cho giới hạn bên trái, khi x đi qua các giá trị nhỏ hơn.

Xét 1/x tại x = 0. Từ bên phải, qua 0.1, 0.01 rồi 0.001, giá trị tăng lên vô hạn; từ bên trái, qua −0.1, −0.01 rồi −0.001, giá trị giảm xuống vô hạn. Hai bên khác nhau nên giới hạn hai bên không tồn tại, và nếu bạn yêu cầu tính giới hạn này, máy sẽ báo đúng như vậy.

Điều tương tự xảy ra ở hai bên của mọi tiệm cận đứng: với 1/(x−1) tại x = 1, giới hạn bên phải là ∞ và giới hạn bên trái là −∞.

Đọc kết quả

• Một số, hoặc một hằng số như e. Giới hạn tồn tại, và đó là giá trị của nó.
• ∞ hoặc −∞. Biểu thức tăng hoặc giảm vô hạn. Nói cho chặt chẽ, biểu thức không có giới hạn hữu hạn; kết quả cho biết nó đi về hướng nào.
• Indeterminate. Máy không xác định được một giá trị: hoặc hai bên khác nhau, như 1/x tại 0, hoặc biểu thức cứ dao động mãi thay vì dần về một giá trị.

Luôn tính theo radian

Giới hạn luôn được tính theo radian, bất kể đơn vị góc đang đặt là gì. Vì thế sin(x)/x vẫn dần tới 1 dù máy đang đặt đơn vị góc là độ hay radian. Khi đơn vị góc không phải radian, dưới kết quả sẽ có dòng ghi chú All operands in limit were computed in radian angle unit (mọi toán hạng trong giới hạn đã được tính theo radian; dòng này hiện bằng tiếng Anh cả khi app để tiếng Việt): đó là lời báo rằng cài đặt đã bị bỏ qua, không phải có gì trục trặc.

Xem giới hạn trên đồ thị

Thay vì tính, bạn có thể vẽ giới hạn. Nhập giới hạn trên màn hình tính toán đúng như khi tính, rồi bấm GRAPH: máy vẽ đường cong, kèm một đường thẳng đứng nét đứt tại điểm mà x dần tới. Lần theo đường cong về phía đường nét đứt từ mỗi bên và đọc tung độ mà nó hướng tới.

Một giới hạn không tồn tại cũng hiện ra rõ ràng như thế. Tại x = 1, hai nhánh của 1/(x−1) chạy về hai hướng ngược nhau, vì thế giới hạn hai bên cho kết quả Indeterminate.

Tra cứu nhanh