Hạng, ma trận bậc thang rút gọn, vết và giá trị riêng của ma trận trong Scientific calculator plus 991 cho Android

Trên bàn phím thứ hai, Rank chèn MatrixRank(, SHIFT [ ]⁻¹ chèn RowReduce(, SHIFT Rank chèn Tr( để tính vết, còn EiValues và SHIFT EiValues chèn Eigenvalues( và Eigenvectors(; điền một mẫu ma trận vào trong ngoặc rồi bấm =. Chế độ Ma trận có đủ các hàm này trong phần MATH của menu. RowReduce([[1,2,5],[3,4,11]]) giải hệ x + 2y = 5 và 3x + 4y = 11: cột cuối cho x = 1, y = 2.

Hạng: phím Rank: MatrixRank(
Bậc thang rút gọn: SHIFT [ ]⁻¹: RowReduce(
Vết: SHIFT Rank: Tr(; ma trận nào cũng được
Giá trị riêng: EiValues, SHIFT EiValues (EiVectors); chỉ ma trận vuông

Đây là những hàm mà môn đại số tuyến tính học sau định thức: ma trận có bao nhiêu hàng độc lập, dạng đơn giản nhất mà các phép biến đổi hàng đưa nó về, tổng các phần tử trên đường chéo, và những con số, những hướng mô tả tác động của ma trận. Mỗi hàm có một phím trên bàn phím thứ hai, còn chế độ Ma trận liệt kê chúng trong phần MATH của menu, nơi chúng nhận ma trận đã lưu theo tên.

Hạng

Hạng đếm số hàng thật sự độc lập với nhau. Trên bàn phím thứ hai, phím ghi Rank nhưng chèn MatrixRank(, và đó là tên cần tìm trong phần hướng dẫn của app. Ma trận R của sách hướng dẫn là [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], và cả hai hàng đều độc lập:

Hai hàng độc lập

vào MatrixRank([1, 2, 3; 4, 5, 6])

ra 2

Ở đây hàng thứ hai chỉ là hai lần hàng thứ nhất, nên chỉ có một hàng độc lập:

Một hàng gấp đôi hàng kia

vào MatrixRank([1, 2; 2, 4])

ra 1

Trong chế độ Ma trận, MatrixRank(matrix) nằm ở phần MATH và nhận một ma trận đã lưu. MatC của sách hướng dẫn, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]], không có hàng nào thừa:

Ma trận 3 × 3 hạng đầy đủ

vào MatrixRank(MatC)

ra 3

Đưa về bậc thang rút gọn: giải hệ

RowReduce(matrix) đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn. Đây là cách nhanh nhất để giải hệ phương trình bậc nhất bằng biến đổi hàng: viết hệ số và hằng số thành một ma trận, rút gọn, rồi đọc nghiệm ở cột cuối.

Cách giải hệ x + 2y = 5 và 3x + 4y = 11 bằng ma trận bậc thang

Viết mỗi phương trình thành một hàng gồm các hệ số và hằng số: 1, 2, 5 và 3, 4, 11.
Bấm 2nd, rồi SHIFT [ ]⁻¹ RowReduce. RowReduce( hiện trên dòng nhập.
Bấm phím mẫu [::] rồi chọn 2 hàng, 3 cột.
Bấm 1st, nhập sáu số, bấm ▶ right giữa hai số, rồi bấm =.

Hệ hai phương trình, đã rút gọn

vào RowReduce([1, 2, 5; 3, 4, 11])

ra [1, 0, 1; 0, 1, 2]

Phần bên trái của kết quả là ma trận đơn vị, nên mỗi hàng giờ chỉ còn một ẩn: 1x + 0y = 1 và 0x + 1y = 2. Cột cuối là 1 và 2, nên x = 1, y = 2.

Khi chỉ cần giá trị các ẩn, chế độ giải hệ phương trình nhận đúng các hàng đó dưới dạng bảng hệ số, cho hai đến bốn ẩn, và cho lần lượt từng giá trị. RowReduce thì cho thấy chính ma trận đã rút gọn, là thứ mà bài tập về biến đổi hàng yêu cầu.

Vết và đường chéo

Vết là tổng các phần tử trên đường chéo chính. Trên bàn phím thứ hai là SHIFT Rank Trace, chèn Tr(. Với ma trận P của sách hướng dẫn, [[1, 2], [3, 4]], vết là 1 + 4:

Vết của P

vào Tr([1, 2; 3, 4])

ra 5

Khác định thức, vết không cần ma trận vuông; nó chỉ cộng những gì nằm trên đường chéo. Với R, [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], vết là 1 + 5:

Vết của ma trận 2 × 3

vào Tr([1, 2, 3; 4, 5, 6])

ra 6

Diagonal(matrix) liệt kê các phần tử mà Tr cộng lại. Hàm này không có phím riêng: chọn trong menu linear algebra.

Đường chéo của ma trận 3 × 3

vào Diagonal([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9])

ra {1, 5, 9}

Giá trị riêng và vectơ riêng

Giá trị riêng của một ma trận vuông là những số mà nó co giãn theo các hướng đặc biệt của chính nó, còn vectơ riêng là những hướng đó. Một phím trên bàn phím thứ hai cho cả hai: EiValues chèn Eigenvalues(, và SHIFT EiValues EiVectors chèn Eigenvectors(.

Cách tìm giá trị riêng của ma trận 2 × 2

Bấm 2nd, rồi EiValues. Eigenvalues( hiện trên dòng nhập.
Bấm phím mẫu [::] rồi chọn 2 hàng, 2 cột.
Bấm 1st, nhập 2 ▶ right 1 ▶ right 1 ▶ right 2, rồi bấm =.

Giá trị riêng của Q

vào Eigenvalues([2, 1; 1, 2])

ra {3, 1}

Để tìm vectơ riêng, ở bước đầu bấm SHIFT EiValues EiVectors thay cho EiValues. Mỗi hàng của kết quả là hướng ứng với một giá trị riêng, theo đúng thứ tự các giá trị riêng:

Vectơ riêng của Q

vào Eigenvectors([2, 1; 1, 2])

ra [1, 1; -1, 1]

Vậy (1, 1) ứng với giá trị riêng 3, còn (−1, 1) ứng với giá trị riêng 1. Cả hai hàm cần ma trận vuông.

Trong chế độ Ma trận, Eigenvalues(matrix) và Eigenvectors(matrix) cũng nằm ở phần MATH, và nhận ma trận đã lưu theo tên.

Menu linear algebra

Phím linear algebra trên bàn phím thứ hai mở danh sách khoảng sáu mươi hàm đại số tuyến tính, gồm mọi hàm ở trên và nhiều hàm khác; gõ vào ô tìm kiếm phía trên để lọc. Cho những bài dài hơn, trong đó có:

CharacteristicPolynomial(matrix, var), đa thức đặc trưng, có nghiệm là các giá trị riêng.
LinearSolve(matrix, right), giải trực tiếp hệ phương trình, và LeastSquares(matrix, right), nghiệm khớp tốt nhất của hệ có nhiều phương trình hơn ẩn.
NullSpace(matrix) và PseudoInverse(matrix).
LUDecomposition(matrix), QRDecomposition(matrix) và SingularValueDecomposition(matrix).
DiagonalMatrix(list), tạo ma trận từ đường chéo, cùng Adjugate(matrix), Minors(matrix), MatrixPower(matrix, n) và MatrixExp(matrix).

Phần MATH của chế độ Ma trận cũng có CharacteristicPolynomial, Diagonal, DiagonalMatrix, LeastSquares, LinearSolve, LUDecomposition, SingularValueDecomposition, NullSpace và PseudoInverse.

Để tìm đường thẳng hay đường cong khớp với số liệu từng cặp, thay vì giải một hệ chính xác, hãy dùng hồi quy trong chế độ STAT.

Tra nhanh

Phím (bàn phím thứ hai)	Chèn
`Rank`	MatrixRank(, số hàng độc lập
`SHIFT Rank Trace`	Tr(, tổng đường chéo
`SHIFT [ ]⁻¹ RowReduce`	RowReduce(, dạng bậc thang rút gọn
`EiValues`	Eigenvalues(
`SHIFT EiValues EiVectors`	Eigenvectors(
`linear algebra`	Toàn bộ danh sách hàm, có ô tìm kiếm

Câu hỏi

Giải hệ phương trình bằng cách đưa về bậc thang thế nào?

Viết hệ số và hằng số của mỗi phương trình thành một hàng của ma trận, rồi rút gọn. Với x + 2y = 5 và 3x + 4y = 11, RowReduce của hai hàng 1, 2, 5 và 3, 4, 11 cho [[1, 0, 1], [0, 1, 2]]: cột cuối cho x = 1 và y = 2. Nếu chỉ cần giá trị các ẩn, chế độ giải hệ phương trình nhận đúng các hàng đó dưới dạng bảng và cho lần lượt từng ẩn.

Máy có tìm được giá trị riêng và vectơ riêng không?

Có. Trên bàn phím thứ hai, EiValues chèn Eigenvalues(, SHIFT EiValues chèn Eigenvectors(; cả hai cần ma trận vuông. Eigenvalues([[2, 1], [1, 2]]) cho {3, 1}, còn Eigenvectors của cùng ma trận cho [[1, 1], [−1, 1]]: mỗi hàng là hướng ứng với một giá trị riêng, theo đúng thứ tự, nên (1, 1) ứng với 3 và (−1, 1) ứng với 1.

Hạng của ma trận cho biết điều gì?

Cho biết có bao nhiêu hàng thật sự độc lập với nhau. [[1, 2], [2, 4]] có hạng 1, vì hàng thứ hai chỉ là hai lần hàng thứ nhất; ma trận 3 × 3 [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] có hạng 3, không hàng nào thừa.

Vết có cần ma trận vuông không?

Không. Tr cộng những gì nằm trên đường chéo chính, nên dùng được cả với ma trận chữ nhật: vết của [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] là 1 + 5 = 6. Định thức, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng và vectơ riêng mới cần ma trận vuông.

Trang liên quan

Giải hệ phương trình bậc nhất hai, ba và bốn ẩn nhập bảng hệ số, nhận giá trị từng ẩn
Tính định thức, ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị định thức, nghịch đảo dạng phân số, chuyển vị, ma trận đơn vị
Nhập ma trận, cộng, trừ và nhân ma trận lưu MatA đến MatD, rồi + − ×, lũy thừa và MatAns

Viết từ sách hướng dẫn trong app và từ chính app, phiên bản 7.6.0; mọi con số đều có trong sách hướng dẫn hoặc có ảnh chụp app làm bằng chứng. Rà lại lần cuối ngày 27 tháng 9, 2026.

Báo lỗi và góp ý tính năng xin gửi về kimcuc@samatica.com — có người đọc từng thư.