Giải bất phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn trong Scientific calculator plus 991 cho Android
Bấm MODE, chọn mục Giải bất phương trình bậc 2, 3 hoặc 4 ứng với dấu của bạn, >, ≥, < hoặc ≤ so với 0. Nhập các hệ số, bấm = sau mỗi số, rồi bấm = thêm lần nữa. Tập nghiệm hiện ra dưới dạng các khoảng, mỗi khoảng một dòng, các dòng hiểu là "hoặc": x² − x − 2 > 0 cho x < −1 ở dòng đầu và 2 < x ở dòng sau.
- Chế độ
- bậc 2, 3 hoặc 4, mỗi dấu >, ≥, <, ≤ so với 0 một chế độ
- Nhập
- các hệ số, từ lũy thừa cao nhất
- Kết quả
- các khoảng, mỗi khoảng một dòng, hiểu là "hoặc"
- Đầu mút
- các nghiệm thực; lấy cả đầu mút với ≥ và ≤, bỏ đầu mút với > và <
Nghiệm của bất phương trình là một tập hợp giá trị chứ không phải một số, và máy trả về đúng như vậy: một danh sách ngắn các khoảng, lấy các nghiệm thực của đa thức làm đầu mút. Bất phương trình phải so sánh một đa thức với 0, nên hãy chuyển mọi hạng tử về một vế trước.
Bốn dấu so sánh
Mỗi bậc có một chế độ riêng cho từng dấu. Các chế độ dùng chung bảng nhập hệ số và cùng các bước, chỉ khác ở phép so sánh với 0.
| Dấu | Nghĩa | Đầu mút |
|---|---|---|
| > 0 | Lớn hơn hẳn | Không lấy, viết bằng < |
| ≥ 0 | Lớn hơn hoặc bằng | Có lấy, viết bằng ≤ |
| < 0 | Nhỏ hơn hẳn | Không lấy |
| ≤ 0 | Nhỏ hơn hoặc bằng | Có lấy |
Giải bất phương trình
Cách giải bất phương trình đa thức
-
Bấm MODE rồi chọn mục ứng với bậc và dấu của bạn. Mỗi mục ghi bất phương trình nó giải, như ax²+bx+c > 0, phía trên dòng chữ Giải bất phương trình bậc 2, 3 hoặc 4. Bảng nhập hệ số hiện ra, mỗi hệ số một ô.
-
Nhập các hệ số từ lũy thừa cao nhất xuống, bấm = sau mỗi số. Hạng tử nào đa thức không có thì nhập 0.
-
Bấm = thêm lần nữa, hoặc chạm GIẢI [=]. Toàn bộ tập nghiệm hiện ra trên một trang.
-
Bấm AC hoặc = để quay lại bảng nhập và giải tiếp.
x² − x − 2 > 0
| a | b | c |
|---|---|---|
| 1 | -1 | -2 |
ra [x < -1; 2 < x]
x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), nên parabol quay bề lõm lên trên và dương ở ngoài khoảng hai nghiệm −1 và 2.
Đọc kết quả
Tập nghiệm được xếp mỗi khoảng một dòng, các dòng hiểu là "hoặc": x là nghiệm khi thỏa mãn bất kỳ dòng nào. Mỗi dòng có một trong bốn dạng, đầu mút là các nghiệm thực của đa thức.
- x < a: mọi giá trị bên trái a.
- a < x: mọi giá trị bên phải a.
- a < x < b: mọi giá trị nằm hẳn giữa hai nghiệm.
- x = a: một điểm riêng lẻ, tại nghiệm bội mà đa thức chỉ chạm 0.
Với ≥ và ≤, đầu mút được lấy và các dòng dùng dấu ≤; với > và <, đầu mút bị bỏ. Nghiệm phức bị bỏ qua: chúng không nằm trên trục số, nên không thể làm đầu mút.
Cùng các hệ số đó nhưng với dấu ≤ thay cho > cho tập bù, nằm giữa hai nghiệm và lấy cả hai nghiệm:
x² − x − 2 ≤ 0
ra [-1 ≤ x ≤ 2]
Một bình phương đúng với dấu ≤ thu lại thành một điểm: (x − 1)² ≤ 0, nhập a = 1, b = −2, c = 1, chỉ cho x = 1, trên một dòng.
Bậc ba
Đa thức bậc ba đổi dấu tại mỗi nghiệm mà nó cắt qua, nên tập nghiệm xen kẽ từ nghiệm này sang nghiệm kế tiếp.
x³ − 2x² − x + 2 > 0
| a | b | c | d |
|---|---|---|---|
| 1 | -2 | -1 | 2 |
ra [-1 < x < 1; 2 < x]
x³ − 2x² − x + 2 = (x + 1)(x − 1)(x − 2), nên dấu đổi lần lượt qua −1, 1 và 2.
Tại một nghiệm bội, đồ thị chạm 0 mà không cắt qua, và dấu không đổi ở đó. Với ≥ hoặc ≤, điểm chạm đó thuộc tập nghiệm, hoặc nằm trong một khoảng kề bên, hoặc đứng riêng một dòng:
x³ − 10x² + 33x − 36 ≥ 0
ra [x = 3; 4 ≤ x]
Nhập a = 1, b = −10, c = 33, d = −36. Đa thức là (x − 3)²(x − 4): tại 3 nó chỉ chạm 0, và từ 4 trở đi thì dương. Với > 0, điểm chạm bị loại, chỉ còn 4 < x.
Bậc bốn
Đa thức bậc bốn cũng vậy, với tối đa bốn nghiệm thực làm đầu mút.
x⁴ − 3x² − 4 < 0
| a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | -3 | 0 | -4 |
ra [-2 < x < 2]
x⁴ − 3x² − 4 = (x² − 4)(x² + 1). Nhân tử x² + 1 không có nghiệm thực, nên đầu mút chỉ có −2 và 2.
x⁴ − 4x³ − 12x² ≥ 0
ra [x ≤ -2; x = 0; 6 ≤ x]
Nhập a = 1, b = −4, c = −12, d = 0, e = 0. Đa thức là x²(x − 6)(x + 2), và nghiệm kép 0 là một điểm riêng lẻ nằm giữa hai nửa khoảng.
Vô nghiệm, hoặc mọi x đều là nghiệm
Khi đồ thị không bao giờ vượt qua ngưỡng so sánh, không có khoảng nào để hiện, và hộp thoại báo thay.
- Vô nghiệm: tập nghiệm rỗng. x² + x + 1 < 0 vô nghiệm vì parabol đó luôn dương; x⁴ + 1 < 0 cũng vậy.
- Vô số nghiệm: mọi số thực đều là nghiệm, như x² + x + 1 > 0 hay x⁴ + 1 > 0.
Đa thức bậc ba luôn cắt qua 0, nên bất phương trình bậc ba luôn có nghiệm và không bao giờ nghiệm đúng với mọi x. Khi mọi hệ số bằng 0, bất phương trình thành 0 so với 0: Vô nghiệm với > và <, Vô số nghiệm với ≥ và ≤. Bấm OK để quay lại bảng nhập.
Xem trên đồ thị
Bấm GRAPH bất cứ lúc nào, khi đang nhập hệ số hay khi kết quả đang hiện. Máy vẽ cùng lúc hai thứ: đồ thị của đa thức, có đánh dấu nghiệm, và một miền được tô, chính là tập nghiệm.
Miền tô là một dải thẳng đứng chạy suốt chiều cao đồ thị, vì điều kiện chỉ liên quan đến x. Bề rộng của dải theo trục hoành là đáp số: đọc từ trái sang phải. Đó không phải phần diện tích giữa đồ thị và trục hoành; đồ thị chỉ có mặt để cho thấy đa thức cắt 0 ở đâu.
Đổi dấu so sánh thì chỉ miền tô di chuyển: với < thay cho >, cùng đồ thị đó được tô phần giữa −1 và 2.
Tra nhanh
| Phím | Chức năng |
|---|---|
| MODE | Chọn mục Giải bất phương trình bậc 2, hoặc bậc 3, bậc 4, ứng với dấu của bạn |
| = | Tính giá trị một ô rồi chuyển tiếp; khi đủ các ô thì giải; khi kết quả đang hiện thì quay về bảng nhập |
| left right | Di chuyển giữa các ô |
| AC | Xóa trắng mọi ô; khi kết quả đang hiện thì quay về bảng nhập |
| GRAPH | Vẽ đồ thị có đánh dấu nghiệm, và tô tập nghiệm |
Chạm vào kết quả để chuyển qua lại giữa phân số và số thập phân; một đầu mút vô tỉ như √2 khi đó hiện dưới dạng căn chính xác hoặc dưới dạng số thập phân.
Câu hỏi
Giải bất phương trình bậc hai bằng máy thế nào?
Chuyển mọi hạng tử về một vế để bất phương trình so sánh một đa thức với 0. Sau đó bấm MODE, chọn mục Giải bất phương trình bậc 2 ứng với dấu, nhập a, b, c rồi bấm =. x² − x − 2 > 0 cho x < −1 và 2 < x, trên hai dòng hiểu là "hoặc"; với dấu ≤, cùng các hệ số đó cho −1 ≤ x ≤ 2.
Vì sao kết quả có hai hoặc ba dòng?
Vì tập nghiệm không phải lúc nào cũng là một khoảng. Mỗi dòng là một phần của tập nghiệm, và x là nghiệm khi thỏa mãn bất kỳ dòng nào. x⁴ − 4x³ − 12x² ≥ 0 cần ba dòng: x ≤ −2, điểm riêng lẻ x = 0, và 6 ≤ x.
Kết quả x = 3 trong bất phương trình nghĩa là gì?
Đó là một điểm riêng lẻ: một nghiệm bội mà tại đó đa thức chạm 0 nhưng không đổi dấu. Nó chỉ xuất hiện với ≥ hoặc ≤, là những dấu có lấy cả giá trị 0. x³ − 10x² + 33x − 36 ≥ 0, tức (x − 3)²(x − 4), cho x = 3 ở một dòng và 4 ≤ x ở dòng sau.
Nếu mọi x đều là nghiệm, hoặc không x nào là nghiệm?
Khi đó không có khoảng nào để hiện, và hộp thoại báo thay: Vô nghiệm khi tập nghiệm rỗng, như x² + x + 1 < 0, và Vô số nghiệm khi mọi số thực đều thỏa mãn, như x² + x + 1 > 0.
Trang liên quan
- Giải phương trình bậc hai hai nghiệm, tọa độ đỉnh, nghiệm phức và đồ thị
- Giải phương trình bậc ba, bậc bốn và bậc năm, kể cả nghiệm phức ba, bốn hoặc năm nghiệm, kể cả nghiệm phức
Viết từ sách hướng dẫn trong app và từ chính app, phiên bản 7.6.0; mọi con số đều có trong sách hướng dẫn hoặc có ảnh chụp app làm bằng chứng. Rà lại lần cuối ngày 26 tháng 9, 2026.
Báo lỗi và góp ý tính năng xin gửi về kimcuc@samatica.com — có người đọc từng thư.